"푸리에 변환"(Fourier Transform)의 기초(Foundation!).. (유투브 강좌)

1. 푸리에 변환 기본 빠르게 개념 잡기

NO	유투브 강의 내용	강의보기
1강	삼각함수 사인 & 코사인 ("그려보는 수학")	▶ 유투브강의
2강	푸리에변환-1.관점의 변환 : 시간 vs. 주파수 ("그려보는 수학")	▶ 유투브강의
3강	푸리에변환-2.푸리에 급수 ("그려보는 수학")	▶ 유투브강의
4강	푸리에변환-3.오일러 공식 ("그려보는 수학")	▶ 유투브강의
5강	푸리에변환-4.리만 적분 ("그려보는 수학")	▶ 유투브강의
6강	푸리에변환-5.내적 직교성 ("그려보는 수학")	▶ 유투브강의
7강	푸리에변환-6.원리와 예시 ("그려보는 수학")	▶ 유투브강의
전체	"그려보는 수학(1강 ~ 7강)" 유투브 강의 [전체 보기]

 

 

푸리에 변환에 반드시 필요한 4가지 개념

 

푸리에 변환을 완벽하게 이해하기 위해서 반드시 알아야 할 4가지는 상기와 같고, 아래에 4가지 각각의 개념에 대해서 자세히 설명 함

• Orthogonality (직교성) : 벡터 내적의 의미는 두 벡터가 얼마의 연관성(Correlation)[ 0~1 ]을 가지고 있는지를 나타내는 척도임, 0이면 연관성이 전혀 없으며 1이면 완전한 연관성을 가진다는 의미임. 연관성이 0이면 두 개의 벡터는 서로 Orthogonality를 가진다고 말함. 2차원 평면공간에서 크기가 1인 Orthogonal한 2개의 벡터를 기저벡터(Basis Vector)라고 함. 2개의 기저벡터로는 2차원 평면공간의 모든 좌표를 표시 할 수 있고, 3개의 기저벡터로는 3차원 입체공간의 모든 좌표를 표시할 수 있음. 따라서 벡터에서 연관성(Correlation)은 내적의 의미를 파악함으로써 알아 낼 수 있음. 그러면 "함수의 연관성(Correlation)은 어떻게 알아 볼 수 있는가?", "함수의 내적을 구하면 되는것인가?" 아래 2개의 함수<f, g>의 내적을 해보고 싶다면, (1)두 개의 함수 f, g를 곱한다. (2) 곱한 두 개의 함수에 대해서 적분한다. 이러한 2가지 과정을 거치면 함수의 내적을 구할 수 있음. 즉, 두 함수의 연관성(Correlation)을 구할 수 있음  

 

함수 f와 함수 g의 내적

 

f=sin, g=cos 일 때, 두함수의 곱의 적분은 0, 두 함수는 직교 & 연관성은 0

 

• Riemann Intergral (리만 적분) : 상기의 Orthogonality를 설명하면서 "두 함수의 연관성(Correlation)은 두 함수의 내적을 하면 된다", 두 함수의 내적 방법은 (1)두 개의 함수 f, g를 곱한다. (2) 곱한 두 개의 함수에 대해서 적분한다. 2가지 과정을 거치면 함수의 내적을 구할 수 있음. 따라서 적분은 함수의 연관성, 즉 내적을 알아보기 위해서 반드시 필요한 구성 요소임

 

Riemann Intergral (리만 적분)의 위키 정의

실해석학에서, 리만 적분(Riemann 積分, 영어: Riemann integral)은 닫힌구간에 정의된 실숫값 함수의 적분의 종류이다. 베른하르트 리만이 정의하였다. 대략, 정의역 구간을 작은 구간으로 잘게 나눠, 각각의 작은 구간 위의 넓이를 직사각형의 넓이를 통해 근사한다. 구간을 잘게 나눌수록 실제 넓이와의 오차가 줄어드는데, 이 과정에 극한을 취하면 실제 넓이를 얻는다. [참고] "적분의 창시자는 누구?" :  라이프니츠 ‘미적분’ 발표에 뉴턴 “내것 도둑질” 격노, “내가 창시자” 말년까지 공방… 후대 학계 “표절 아니다” 결론 아이작 뉴턴은 아버지가 내전에 참여했다 전사해 유복자이자 미숙아로 태어났다. 또 이름도 쓰지 못하는 농부의 아들이었으나 후에 여왕으로부터 작위를 받고 과학자로서는 최고의 영예인 영국왕립학회 회장까지 올랐으며 런던 웨스터민스터 사원에 묻혔다. 반면 라이프니츠는 라이프치히대 철학과 교수 아들로 태어나 아버지 서재에 파묻혀 어린 시절을 보냈으며 10대에 철학박사 학위를 받는 등 신동이었다. 하지만 죽을 때는 하인 한 명만이 장례식에 참가할 정도로 쓸쓸한 생을 마쳤으며 실제 무덤도 발견되지 않았다. 이렇게 대조적인 삶을 산 두 과학자는 평생을 독신으로 보냈으며 영국왕립학회 회원으로 학문적 교류도 했다. 하지만 미적분을 누가 먼저 발견했는지를 놓고 수십 년간 치열한 표절 공방을 벌였다. 사건의 발단은 런던의 출판업자 존 콜린스가 뉴턴의 미출간 자료 일부를 라이프니츠에게 보내준 데서 빚어졌다. 뉴턴은 콜린스의 ‘배신행위’로 자신의 미적분 아이디어가 누출됐다고 주장했다. 뉴턴이 “라이프니츠가 내가 이미 발명한 미적분을 도둑질했다”고 원색적으로 비난한 반면 라이프니츠는 “비슷한 시기에 독자적으로 개발했을 뿐”이라고 비교적 점잖게 응수했다. 영국과 대륙의 과학자들까지 가세해 서로 편을 갈라 두 사람을 응원하며 한동안 교류를 중단했을 정도다. 뉴턴은 라이프니츠가 말년에 질병과 경제적 어려움 등으로 불우한 시절을 보내며 방어할 만한 여력이 없을 때에도 무자비하게 공격했다. 영국의 전기 작가 마이클 화이트 씨는 최근 저서 ‘마지막 연금술사, 아이작 뉴턴’에서 “뉴턴은 세계를 주재하는 신의 뜻을 해석하는 ‘그리스도와 같은 과학자’는 단 한 명밖에 없으며 그 사람은 바로 자기 자신’이라고 믿었다”며 “이러한 생각에 방해가 되는 인물들은 철저하게 공격했으며 때론 거짓과 위선도 서슴지 않았다”고 지적했다. “후대 수학계는 콜린스가 넘겨준 미적분 자료를 보기 전에 라이프니츠도 미적분을 독자적으로 발명한 것으로 결정짓고 ‘무승부’ 판정을 내렸다”고 말했다. [출처] "미적분학의 창시자는?"

 

• Fourier Series ( 푸리에 급수 ) : DC는 전체 함수가 상하로 움직임을 나타내므로 속성을 알아 볼 때는 큰 의미 없음. 주기성의 속성을 가지는 AC의 의미를 파악하는 것이 푸리에 급수의 개념을 파악하는 것임. 

 

DC 직류(상수), AC 교류(주기성)

AC(교류) 중에서 sin 성분으로만 n에 홀수(1,3,5 ...)를 순차로 계속 넣어서 g함수를 구성할 있음을 보여주는 예

 

• Euler Eq. ( 오일러 공식 ) : 주기성을 가지는 함수 f(t)를 표현하는 방법, 아래의 첫 번째<그림>에서 기본적인 방법 3가지를 표현하고 있고, 두 번째 <그림>에서 오일러 공식을 이용해서 지수함수(e)로 표현을 하고 있음. 지수함수(e) 하나로 sin, cos으로 나누진 함수를 하나로 쉽게 처리 할 수 있음. 또한 지수함수(e)의 적분과 미분도 아주 쉽게 할 수 있음

 

f(t)를 표현하는 3가지 방법

 

f(t)를 표현하는 남은 한가지 방법

 

오일러 공식 사용의 e함수로 모든 주기성 함수를 모두 표현할 수 있음( A:진폭, f: 주기, ∮: 위상)

 

지수함수(e)의 미분 및 적분의 편의성은 너무 좋음

 

 

아래 "푸리에 변환" 식에 사용된 지수함수(e)를 오일러 공식에 의해서 "cos + i sin" 함수로 변환 할 수 있으며, 이것은 f(t) 함수와 지수함수(e) 함수의 내적(연관성)을 구하는 식의 의미가 되며, 이것은 푸리에변환은 함수 f의 주기성을 분석 할 수 있다는 의미도 됨 

 

푸리에 변환

 

 

 

 

[Signal Processing을 공부할 때 알아야 기본]

• [       A        ] : 어떤 복잡한 또는 잘 모르는 함수가 있을 때, 이 함수를 저차의(1~3차) 다항함수로 근사하여 사용함으로써 문제 또는 모델을 단순화시키는데 [       A       ]가 활용될 수 있습니다. 구체적인 예를 들기는 어렵지만 [     A     ]는 논문 등에서 어떤 이론이나 주장에 대한 논리적 근거를 단순화하여 설명할 때 유용하게 사용되는 기법 중의 하나입니다. 한 활용예로 가우스-뉴턴(Gauss-Newton) 방법을 증명하는데 [      A      ]가 활용됩니다. 이에 대한 내용은 뉴턴법/뉴턴-랩슨법의 이해와 활용(Newton's method)을 참조하기 바랍니다.